【摘要】 基于矩的半导体器件模拟方法，尽管在按比例缩小的器件中存在不足，但仍然是计算机辅助设计(TCAD)技术中最流行的方法。

玻尔兹曼输运方程通常被认为是半导体中载流子输运的最佳半经典描述，它提供了关于载流子在时间(一维)、位置(三维)和动量(三维)方面分布的精确信息。然而，七维载波分布函数的数值解要求很高。最常见的解决方法是随机蒙特卡罗方法，因为确定性直接解决方法的千兆字节内存需求直到最近才可用。作为一种补救措施，玻尔兹曼输运方程的解提供的更高的精度往往与使用基于宏观量(如载流子密度和平均载流子速度)的更简单的模型来换取更低的计算费用。确定性球谐展开方法的最新发展降低了求解玻尔兹曼输运方程的计算成本，甚至可以在几分钟到几小时内计算出空间三维器件模拟的载流子分布函数。K. Rupp[1]等人总结了球面谐波展开方法的最新进展，并表明小电流、合理的执行时间和低频噪声等罕见事件都可以用现有的蒙特卡罗方法难以甚至无法模拟的方式直接处理。该方法在噪声模拟、小信号分析、热载波退化和雪崩击穿等重要实际应用中的适用性得到了证明。

 

基于矩的半导体器件模拟方法，尽管在按比例缩小的器件中存在不足，但仍然是计算机辅助设计(TCAD)技术中最流行的方法。这些缺陷也不能通过采用更高矩获得的模型来解决，因为闭合条件很难制定，需要依靠经验论证。

 

通过求解载流子概率分布函数f(x，p，t)的完整玻尔兹曼输运方程(BTE)，原则上可以获得比基于矩的方法更高的精度。虽然基于动量的模型只提供了关于平均量的信息，但BTE的解提供了关于载流子相对于其动量的分布的完整信息

 

蒙特卡罗方法是最早用于解决半导体BTE的方法之一，并且仍然是今天使用的最流行的方法。它为实际应用提供了几个吸引人的优点：首先，实现相对容易，因此可以快速获得第一个结果。其次，蒙特卡罗方法可以包含许多复杂的物理细节，如复杂的带结构。第三，蒙特卡罗方法具有相当的鲁棒性，因为它不涉及可能发生散度的大型非线性耦合方程系统的解，而是依赖于随机抽样。另一方面，蒙特卡罗方法的随机性也造成了它的主要缺点。首先是由于精度与粒子数的平方根成反比关系，如果需要在几个数量级上解决分布函数，则需要过多的执行时间。如果需要解决罕见事件或小电流，或者执行小信号分析，就会出现这种情况。此外，平方根依赖性规定，当考虑到额外的资源投入时，将蒙特卡罗模拟扩展到单个工作站或单个集群提供的计算资源能力之外会产生递减的回报。蒙特卡罗方法的第二个缺点是固有的瞬态性质：自洽器件模拟需要飞秒量级的时间步长来解析等离子体振荡，因此毫秒级或更大范围的时间间隔模拟实际上是不可行的。

 

图1 不同SHE阶数下硅锗异质结双极晶体管(基极厚度:24 nm)集电极电流相对误差的比较。[1]

 

为了克服矩基方法精度有限的缺点，同时避免蒙特卡罗方法的执行次数过多，提出了求解BTE的复杂确定性方法目前最成熟的确定性方法是球面谐波展开法(SHE)。它已经成功地用于比任何其他直接解决方法更广泛的器件数量范围。SHE方法在数学上利用了载流子动量在平衡状态下的分布呈球对称这一事实。因此，平衡分布函数可以用零级展开式精确地表示。这与基于矩的方法相反，在基于矩的方法中，高阶矩在平衡状态下不会消失。由于球面谐波的展开可以看作是傅里叶级数从圆(即一个角分量φ)到球(即两个角分量θ， φ)的扩展，因此可以获得丰富的数学基础。

 

图2. 自由飞行中的航母轨迹(虚线水平线)是由恒定的总能量给出的。 [1]

 

半导体器件模拟中SHE方法的使用主要集中在硅和硅锗器件上。SHE方法已经达到了一个成熟的水平，它不仅是一个有吸引力的替代既定的蒙特卡罗方法，而且同时允许对无法用随机方法模拟的现象进行研究。由于没有随机波动，噪声模拟和精确的小信号分析能够达到前所未有的精度，范围也比以前大得多。虽然BTE的高维意味着SHE方法在内存消耗方面仍然非常苛刻，但与其他直接方法相比，该方法的成本要低得多。SHE方法被广泛采用的一个缺点是，就所涉及的数学而言，该方法相当复杂。从头开始开发SHE求解器很容易需要几周或几个月的集中精力。然而，免费开源模拟器(ViennaSHE1)的可用性大大降低了入门门槛。同样，商业实现也可以使用SHE方法，而不需要任何编码工作。

 

[1] Rupp, K., Jungemann, C., Hong, SM. et al. A review of recent advances in the spherical harmonics expansion method for semiconductor device simulation. J Comput Electron 15, 939–958 (2016).

 

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