【摘要】 为此，引入了总是存在的测度外态密度，并给出了测度态密度存在时的上界

研究Schrödinger算子的态密度，如图1所示[1]。其中Κ是拉普拉斯算子，V是有界势。一个区间的状态密度测量给出了“每单位体积的状态数” 在区间中有能量;它的累积分布函数是状态的积分密度。状态测度的有限体积密度，即Schrödinger算子对有限体积的限制的状态测度密度，总是定义良好的。状态测度的密度由状态测度的有限体积密度的适当极限给出，当这种极限存在时。已知这些极限存在于Schrödinger算子，其中势V在某种意义上在空间中是均匀的(例如，周期势，遍历Schrödinger算子)，但不存在于一般的Schrödinger算子。对于一般Schrödinger算子，不能定义状态测度的密度和相应的状态积分密度。

 

为此，引入了总是存在的测度外态密度，并给出了测度态密度存在时的上界。我们证明了小区间外测度状态密度的上界，建立了Schrödinger算子在一维、二维和三维以及离散Schrödinger算子在任意维上的log-Hölder连续性。对于周期的和遍历的Schrödinger算子，态的密度ηψ可以在适当的意义上定义为态的有限体积密度ηΛ的弱极限，对于盒子Λ→Rd的序列ψ。在这种情况下，态的积分密度Nψ(E):= ηψ(]−∞，E])满足Nψ(E) = limΛ→Rd NΛ，ψ(E)，除了一个可数的能量集。而且，它们都是重合的，所以我们用η(B):= ηψ(B)和N(E):= Nψ(E)来定义态的密度测量η和态N(E)的积分密度。

 

图1. 态密度公式 [1]

 

由于一般Schrödinger算子无法定义状态测度的无限体积密度和状态的积分密度，因此定义了Rd的Borel子集B上的状态测度外密度（图2）。它们在有界集合上总是有限的。已发表的结果似乎仅限于存在态的积分密度的情况。对于周期势，态的积分密度的连续性等价于特征值的不存在，这是Thomas证明的一个非平凡结果。对于遍历Schrödinger算子，状态的积分密度的连续性等价于能量的不存在性，这种能量是概率为1的无限多重特征值。

 

虽然Schrödinger算子可以具有无限多重的特征值，但很难想象对于几乎所有遍历Schrödinger算子的实现，固定能量如何成为无限多重的特征值。Craig和Simon证明了一维遍历Schrödinger算子[6]和任意维遍历离散Schrödinger算子的状态积分密度的log-Hölder连续性(指数为1)。Delyon和Souillard提供了离散情况下状态的积分密度连续性的简单证明。但是，对于多维(连续)遍历Schrödinger算子，状态的积分密度的连续性，虽然是预期的，但很难得到全面的证明。

 

图2. 定义的状态测外密度[1]

 

[1] Bourgain, J., Klein, A. Bounds on the density of states for Schrödinger operators. Invent. math. 194, 41–72 (2013).

 

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